I Settimana (24-29 Settembre)
Introduzione al corso. Richiami sulla teoria degli anelli ed omomorfismi nel caso di anelli commutativi unitari.
Ideali, ideali primi e massimali. Ideali finitamente generati, ideali principali. Divisori dello zero, idempotenti, nilpotenti, elementi invertibili. Omomorfismi di anelli. Teorema Fondamentale dell'Omomorfismo. Anelli-quoziente ed ideali degli anelli-quoziente. Teorema di Krull-Zorn: ogni ideale proprio e' contenuto in un ideale massimale.
II Settimana (1-5 Ottobre)
Parti moltiplicative e parti moltiplicative saturate. Ideali massimali nell'insieme degli ideali disgiunti da una parte moltiplicativa. Caratterizzazione delle parti moltiplicative saturate.
Anello delle frazioni rispetto ad una parte moltiplicativa (saturata o non saturata).
Un dominio è un UFD se e soltanto se ogni ideale primo contiene un elemento primo e, quindi, un PID è un UFD.
III Settimana (8-12 Ottobre)
Omomorfismo naturale da un anello al suo anello delle frazioni. Proprietà di universalità dell'anello delle frazioni rispetto ad una parte moltiplicativa.
Proprietà e descrizione dell'ideale nucleo. Localizzazioni ed anelli locali. Esempi. Ideali ed ideali primi in un anello di frazioni. Esempi.
Nilradicale e radicale primo (o radicale dell'ideale (0)). Anello ridotto ed ideali primi di un anello ridotto.
Radicale di Jacobson. Esempi e prime proprietà.
Operazioni tra ideali ed esempi.
Distributività delle operazioni tra ideali. Teorema Cinese dei Resti per anelli commutativi e caso classico nell'anello degli interi.
IV Settimana (15-19 Ottobre)
Ideali, ideali primi e massimali. Ideali finitamente generati, ideali principali. Divisori dello zero, idempotenti, nilpotenti, elementi invertibili. Omomorfismi di anelli. Teorema Fondamentale dell'Omomorfismo. Anelli-quoziente ed ideali degli anelli-quoziente. Teorema di Krull-Zorn: ogni ideale proprio e' contenuto in un ideale massimale.
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| Wolfang Krull (26 August 1899, Baden-Baden, Germany, 12 April 1971, Bonn, Germany) |
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| Max Zorn (June 6, 1906 in Krefeld, Germany, March 9, 1993 in Bloomington, Indiana, USA) |
II Settimana (1-5 Ottobre)
Parti moltiplicative e parti moltiplicative saturate. Ideali massimali nell'insieme degli ideali disgiunti da una parte moltiplicativa. Caratterizzazione delle parti moltiplicative saturate.
Anello delle frazioni rispetto ad una parte moltiplicativa (saturata o non saturata).
Un dominio è un UFD se e soltanto se ogni ideale primo contiene un elemento primo e, quindi, un PID è un UFD.
III Settimana (8-12 Ottobre)
Omomorfismo naturale da un anello al suo anello delle frazioni. Proprietà di universalità dell'anello delle frazioni rispetto ad una parte moltiplicativa.
Proprietà e descrizione dell'ideale nucleo. Localizzazioni ed anelli locali. Esempi. Ideali ed ideali primi in un anello di frazioni. Esempi.
Nilradicale e radicale primo (o radicale dell'ideale (0)). Anello ridotto ed ideali primi di un anello ridotto.
Radicale di Jacobson. Esempi e prime proprietà.
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| Nathan Jacobson (October 5, 1910, Warsaw, Poland, Russian Empire December 5, 1999, Hamden, Connecticut) |
Distributività delle operazioni tra ideali. Teorema Cinese dei Resti per anelli commutativi e caso classico nell'anello degli interi.
IV Settimana (15-19 Ottobre)
Moduli su un anello. Esempi e prime proprieta'. Hom_A(M, N) e dualita'. Moduli finitamente generati. Moduli liberi. Teorema fondamentale di omomorfismo tra moduli.
Teorema di Cayley-Hamilton per A-moduli finitamente generati ("determinant trick"). Lemma di Nakayama: varie formulazioni. Topologia di Zariski nello spazio affine su un campo. La topologia di Zariski sullo spettro primo di un anello: chiusi, aperti e base di aperti quasi-compatti. Esempi.
V Settimana (22-26 Ottobre)
Applicazioni spettrali: continuità, immersioni aperte e chiuse.
Chiusura di un sottospazio dello spettro primo.
Punti chiusi e sottospazi irriducibili di Spec(A). Spec(A) e' uno spazio T_0 , ma non T_1. Quasi-compattezza. Composizione di applicazioni spettrali associate ad omomorfismi di anelli. Densita' dell'immagine nella applicazione spettrale associata ad un omomorfismo iniettivo.
Moduli liberi: caso generale e caso di moduli finitamente generati. Proprietà di universalità del modulo libero.
Prodotto tensoriale di moduli: proprietà universale e sua costruzione. Prime proprietà del prodotto tensoriale ed esempi. Alcuni esempi di prodotto tensoriale: caso del prodotto tensoriale su Z di Z/nZ con Z/mZ.
VI Settimana (29 Ottobre - 2 Novembre)
Didattica sospesa per lo svolgimento delle prove di valutazione in itinere di tutti i corsi del Primo semestre.
VII Settimana (5 - 9 Novembre) Dipendenza integrale. Esempi e controesempi. La chiusura integrale e' integralmente chiusa. Proprietà delle estensioni intere: stabilità per passaggio agli anelli-quoziente ed agli anelli di frazioni. Estensioni intere ed ideali massimali. Teorema del "Lying Over" e Teorema del "Going-Up" di Cohen-Seidenberg. Cenni al Teorema dell'Incomparabilità ed al Teorema del "Going-down".
[di Irvin S. Cohen (1917 – 1955) morto a 38 anni non sono disponibili immagini sul web. He was a student of Oscar Zariski at Johns Hopkins University. and then was a faculty at M.I.T. In 1946 he proved the unmixedness theorem for power series rings, as a result of which Cohen–Macaulay ring are named after him and F. S. Macaulay. Cohen and Seidenberg are famous for their Cohen-Seidenberg theorems.]
X Settimana (26 - 30 Novembre) Ulteriori proprietà degli ideali primari. Radicale primo di un ideal primario. Esempi. Potenze di ideali massimali e di potenze di ideali primi. Proprietà degli ideali primari negli anelli noetheriani. Unicità degli ideali primi associati ad una decomposizione primaria minimale di un ideale non nullo di un anello noetheriano. Introduzione al Teorema degli zeri di Hilbert.
Teorema degli zeri di Hilbert (forma "debole" e forma "forte" ): Esempi ed applicazioni. Lemma di Normalizzazione di Noether (cenni). Dimostrazione delle varie formulazioni del Teorema degli zeri di Hilbert.
XI Settimana (3 - 6 Dicembre) Gruppi abeliano ordinati (totalmente). Valutazioni e Valutazioni discrete. Anello associato ad una valutazione. Valutazioni equivalenti. Corrispondenza biunivoca tra anelli di valutazione e classi di valutazioni equivalenti. Esempi di valutazioni discrete e di valutazioni non discreta. Anello di valutazione discreta associato ad una valutazione discreta. Proprietà degli ideali di un anello di valutazione associato ad una valutazione discreta. Domini di valutazione discreta (abbreviati, DVR). Prime caratterizzazioni dei domini di valutazione discreta. Un DVR è un PID (ma non viceversa).
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XII Settimana (10 - 13 Dicembre)
Ulteriori caratterizzazioni dei DVR. Esempi e principali proprietà.
Globalizzazione dei domini di valutazione discreta: domini di Dedekind. Assiomi di E. Noether.
Esempi di domini di Dedekind. In un dominio di Dedekind ogni ideale proprio possiede una presentazione come prodotto di un numero finito di ideali potenze di ideali primi (=massimali). Varie caratterizzazioni dei domini di Dedekind. Esempi. Ogni PID e' un Dominio di Dedekind. Gli anelli di interi algebrici (anelli ottenuti per chiusura integrale di Z in una estensione algebrica finita di Q) sono domini di Dedekind.
